Cyclic Sieving and Plethysm Coefficients

Abstract

A combinatorial expression for the coefficient of the Schur function $s_{\lambda}$ in the expansion of the plethysm $p_{n/d}^d \circ s_{\mu}$ is given for all $d$ dividing $n$ for the cases in which $n=2$ or $\lambda$ is rectangular. In these cases, the coefficient $\langle p_{n/d}^d \circ s_{\mu}, s_{\lambda} \rangle$ is shown to count, up to sign, the number of fixed points of an $\langle s_{\mu}^n, s_{\lambda} \rangle$-element set under the $d^e$ power of an order $n$ cyclic action. If $n=2$, the action is the Schützenberger involution on semistandard Young tableaux (also known as evacuation), and, if $\lambda$ is rectangular, the action is a certain power of Schützenberger and Shimozono's <i>jeu-de-taquin</i> promotion.This work extends results of Stembridge and Rhoades linking fixed points of the Schützenberger actions to ribbon tableaux enumeration. The conclusion for the case $n=2$ is equivalent to the domino tableaux rule of Carré and Leclerc for discriminating between the symmetric and antisymmetric parts of the square of a Schur function. Une expression combinatoire pour le coefficient de la fonction de Schur $s_{\lambda}$ dans l’expansion du pléthysme $p_{n/d}^d \circ s_{\mu}$ est donné pour tous $d$ que disent $n$, dans les cas où $n=2$, ou $\lambda$ est rectangulaire. Dans ces cas, le coefficient $\langle p_{n/d}^d \circ s_{\mu}, s_{\lambda} \rangle$ se montre à compter, où l’on ignore le signe, le nombre des point fixés d’un ensemble de $\langle s_{\mu}^n, s_{\lambda} \rangle$ éléments sous la puissance $d^e$ d’une action cyclique de l’ordre $n$. Si $n=2$, l’action est l’involution de Schützenberger sur les tableaux semi-standard de Young (aussi connu sous le nom des évacuations), et si $\lambda$ est rectangulaire, l’action est une certaine puissance de l’avancement jeu-de-taquin de Schützenberger et Shimozono.Ce travail étend les résultats de Stembridge et Rhoades, liant les point fixés des actions de Schützenberger aux tableaux de ruban. Pour le cas $n=2$ , la conclusion est équivalent à la règle des tableaux de dominos de Carré et Leclerc, qui distingue entre les parties symétriques et asymétriques du carré d’une fonction de Schur.

Locations

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