On the gaps between consecutive primes

Abstract

Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:math> p_{n} denote the 𝑛-th prime. We prove that, for any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> m\geq 1 , there exist infinitely many 𝑛 such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>≤</m:mo> <m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> p_{n}-p_{n-m}\leq C_{m} for some large constant <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> C_{m}&gt;0 , and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>≥</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>c</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mfrac> </m:mrow> </m:math> p_{n+1}-p_{n}\geq\frac{c_{m}\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n} for some small constant <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>c</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> c_{m}&gt;0 . Furthermore, for any fixed positive integer 𝑙, there are many positive integers 𝑘 with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>l</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> (k,l)=1 such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>l</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>≥</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>c</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mfrac> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> p^{\prime}(k,l)\geq ck\cdot\frac{\log k\log\log k\log\log\log\log k}{\log\log\log k}, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>l</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> p^{\prime}(k,l) denotes the least prime of the form <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>l</m:mi> </m:mrow> </m:math> kn+l with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> n\geq 1 , which improves the previous result of Prachar.

Locations

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• Forum Mathematicum - View