Sur les mesures vectorielles définies par une application Pettis-intégrable

Abstract

On étudie quand l'ensemble des valeurs prises par une mesure vectorielle définie par une application Pettis-intégrable est relativement compact en norme.On montre sous Faxiome de Martin que c'est toujours le cas si l'espace d'arrivée n'admet pas / cc pour quotient.ABSTRACT.-We study when thé range ofa Banach space valued measure which is defined by a Pettis-intégrable function is norm relatively compact.Under Martin's axiom, we show that it is aiways thé case when /°° is not quotient of thé Banach space.Soit (Q, E, n) un espace probabilisé et £ un espace de Banach.Une application bornée q> de 0 dans E sera dite Pettis-intégrable si pour tout x' e E', x' o (p est mesurable et si pour tout A 6 S il existe un élément b^ de £ tel que x'(b^)= x'o^d pour tout x'çE 1 .Cette formule montre que JA l'application A -»• b^ est n-îiddilivc lorsque E est muni de la topologie faible <r(£, £').D'après le théorème classique d'Orlicz-Pettis, elle est encore o-additive lorsque £ est muni de la norme, c'est-à-dire que c'est une mesure vectorielle.On sait alors que son image est faiblement relativement compacte [1].Le problème est de savoir si cette image est relativement compacte pour la norme de £.Disons pour simplifier que le couple ((t2, E, p), £) possède la propriété (P) si toute application Pettis-intégrable bornée de Q dans £ définit une mesure dont l'image est relativement compacte en norme.On a montré dans [2] qu'il existe un espace probabilisé pathologique (Q, S, n) tel que le couple ((Q, £, n), /°° (f^)) ne possède pas la propriété (P).On a également montré que sous des hypothèses assez faibles de théorie des ensembles, et si l'espace (tl.S, n) est raisonnable, alors pour tout espace de Banach £, le couple ((Q, S, n), £) possède (P).On va étudier

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