Croissance polynomiale et périodes des fonctions harmoniques

Abstract

On définit la croissance d'un groupe localement compact à génération compacte et l'on étudie la structure de certains groupes à croissance non exponentielle.En utilisant ces notions, on obtient des conditions suffisantes pour qu'une marche aléatoire sur un groupe localement compact n'admette pas d'autres fonctions harmoniques bornées que les constantes.334 Y. GUIVARC*H La réponse est positive dans ces trois cas, et les groupes à croissance polynomiale ainsi obtenus forment une généralisation naturelle des groupes de Lie connexes de type J?. On constate aussi que ces groupes, à croissance polynomiale, possèdent un degré de croissance, qui est entier, aisément calculable.L'existence d'un tel degré avait été conjecturée par J. A. WOLF pour les groupes niipotents de type fini.On peut remarquer que ces résultats contiennent ceux de J. MILNOR et J. A. WOLF sur les groupes résolubles discrets, mais ne donnent aucune information pour des groupes discrets non résolubles.Dans cette direction, le résultat suivant a été obtenu récemment par J. TITS : Si G est de type fini, et possède une représentation linéaire complexe fidèle, il admet comme sous-groupe le groupe libre à deux générateurs, ou bien est extension finie d'un groupe résoluble.Le problème de J. A. WOLF reste donc ouvert pour les groupes sans représentation linéaire fidèle; les exemples produits par NOVIKOV de groupes infinis vérifiant identiquement une relation x 11 == e sont de ce type.L'étude précédente a aussi été motivée par un problème d'équirépartition sur un espace homogène E d'un groupe de Lie connexe G, qui a été posé par V. I. ARNOLD et A. L. KRYLOV [1].Ce problème est lié à l'unicité de la mesure invariante sur E pour un opérateur de convolution par une probabilité convenable p sur G, et donc à la trivialité des fonctions harmoniques pour la marche aléatoire sur G définie par p. Ces derniers problèmes ont été étudiés notamment par H. FURSTENBERG [7] et R. AZENCOTT [4] dans le cas des lois étalées sur les groupes de Lie connexes.En particulier, R. AZENCOTT a montré que, pour une loi p étalée sur un groupe de Lie connexe de type R, les fonctions harmoniques bornées sont constantes, et H. FURSTENBERG a demandé si, pour les groupes niipotents, on pouvait se passer de l'hypothèse p étalée : on sait que, d'après un théorème de CHOQUET-DENY [5], il en est bien ainsi pour les groupes abéliens.On montre que le résultat de R. AZENCOTT reste valable sans l'hypothèse de connexité, en particulier pour les extensions compactes de groupes résolubles localement compacts à croissance polynomiale.On donne aussi une réponse « presque » affirmative à la question de H. FURSTENBERG, réponse valable aussi pour certains groupes résolubles à croissance polynomiale.Les restrictions portent, soit sur la classe du groupe qui est supposée être 2 au plus, soit sur le comportement à l'infini de la loi p qui est supposée admettre un moment d'ordre strictement positif.Ces résultats contiennent de plus une généralisation des théorèmes limites sur les groupes compacts [8] et d'un résultat de A. J. STAM [22] sur le groupe des réels.On peut en déduire un théorème d'équirépartition TOME 101 --1973 --N° 4 Y. GUIVARC*H -La relation de préordre précédente fournit une relation d'ordre sur les croissances : on pourra parler d'un groupe ayant une « croissance au moins aussi rapide » qu'un autre. EXEMPLES :Si G == R d , si V est un convexe compact symétrique d'intérieur non vide,-Si G == La est le groupe libre à deux générateurs a, b, V l'ensemble formé de e, a, b, a-1 , b~1, on montre que [ V 71 [ = 2 (^n -1) + 1.Ces deux exemples suggèrent les définitions.DÉFINITION 1.2 : -G sera dit à croissance strictement polynomiale de degré d s'il a même croissance que R d .-G sera dit à croissance exponentielle s'il a même croissance que le groupe libre La.--G sera dit à croissance polynomiale de degré d au plus, si la croissance de G est majorée par celle de R d . Relativement à la suite | V^ [, ces notions signiûent :-pour la croissance strictement polynomiale de degré d, que les valeurs d'adhérence de la suite [ V n \|n d sont finies et non nulles.-pour la croissance polynomiale de degré d au plus, que la suite | V" \|n d est bornée supérieurement.-pour la croissance exponentielle, que les valeurs d'adhérence de la suite | V" l 17 ^ sont finies et strictement supérieures à 1. THÉORÈME 1.1.-La suite | V"-1 1 ^ a une limite finie supérieure ou égale ai.G est à croissance exponentielle si, et seulement si, cette limite est supérieure à 1. COROLLAIRE 1.1.-La croissance à gauche de G est égale à sa croissance à droite.Le théorème résultera de deux lemmes.LEMME 1.1.-Soient X un G-espace localement compact muni d'une mesure ^ invariante, A et B des compacts de G, Y un compact de X. Alors \A\.\BY\^\BA\.

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