Anneaux de Grothendieck des variétés de drapeaux

Abstract

La construction des « variétés de Bott-Samelson » utilisée dans la « désingularisation des variétés de Schubert généralisées » par M. Demazure, permet de calculer de manière purement algébrique l'anneau de Grothendieck d'un groupe algébrique semi-simple déployé sur un corps algébriquement clos et un certain nombre de résultats sur les variétés de drapeaux associées à un tel groupe.Certains de ces résultats étaient déjà connus, ils avaient été obtenus par voie topologique par Hodgkin et Grothendieck.D'autres, ceux relatifs au quotient du groupe par un parabolique, sont originaux.Soient k un corps algébriquement clos, G un k-groupe algébrique semisimple simplement connexe (déployé), B un sous-groupe de Borel de G, T un tore maximal de B (donc de G), H un sous-groupe parabolique de G contenant B, L l'unique sous-groupe de Levi de H contenant T, K(G/B) (resp.K(G/T), K(G/H), K(G/L), K(G)) l'anneau de Grothendieck de la variété G/B (resp.G/T, ...), W = Norm^ (T)/T le groupe de Weyl de G par rapport à T, R (B) (resp.R (T), ...) l'algèbre des représentations de B (resp.T, ...), g la projection de G/B sur G/H.Pour tout k-schéma algébrique X, où G opère, soit Kç (X) l'anneau de Grothendieck de la catégorie abélienne des G-modules cohérents sur X (la structure d'anneau se déduisant du produit tensoriel).opère sur ce dernier.THÉORÈME.-Uhomomorphisme caractéristique de R (B) (resp.R (H)) dans K(G/B) (resp.K(G/H)) est surjectif.Le fondeur « d'oubli » induit une surjection de Kç (G/B) sur K (G/B) et de KQ (G/H) sur K(G/H).K (G/B) est engendré par les classes des modules inversibles.K(G/H) s'identifie par g* au sous-anneau des invariants de K(G/B) = K(G/T) sous Faction du sous-groupe de Weyl associé à H (i. e. Norm^ (T)/T).K(G) est réduit à Z.

Locations

• Bulletin de la Société mathématique de France - View - PDF