On Shapiro’s cyclic inequality for 𝑁=13

Abstract

A cyclic sum <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis bold x right-parenthesis equals normal upper Sigma x Subscript i Baseline slash left-parenthesis x Subscript i plus 1 Baseline plus x Subscript i plus 2 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S({\mathbf {x}}) = \Sigma \;{x_i}/({x_{i + 1}} + {x_{i + 2}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is formed with the <italic>N</italic> components of a vector <bold>x</bold>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Subscript upper N plus 1 Baseline equals x 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{x_{N + 1}} = {x_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Subscript upper N plus 2 Baseline equals x 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{x_{N + 2}} = {x_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and where all denominators are positive and all numerators are nonnegative. It is known that there exist vectors <bold>x</bold> for which <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis bold x right-parenthesis greater-than upper N slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S({\mathbf {x}}) &gt; N/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N greater-than-or-slanted-equals 14"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N \geqslant 14</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and even, and if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N greater-than-or-slanted-equals 25"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>25</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N \geqslant 25</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It has been proved that the inequality <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis bold x right-parenthesis greater-than-or-slanted-equals upper N slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S({\mathbf {x}}) \geqslant N/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> holds for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N less-than-or-slanted-equals 12"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N \leqslant 12</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Although it has been conjectured repeatedly that the inequality also holds for odd <italic>N</italic> between 13 and 23. this has apparently not yet been proved. Here we will confirm that the inequality indeed holds for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N equals 13"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N = 13</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Mathematics of Computation - View - PDF