Sur L'Approximation Polynomiale Avec Poids exp(-|x|)

Abstract

Dans ce travail, nous étudions l'approximation polynomiale pondérée usuelle et aussi unilatérale dans l'espace L. Le poids considéré est w(x) = exp (— |x|) ce qui constitue un cas extremal; rappelons à ce propos quelques résultats de G. Freud. A chaque poids de la forme w Q (x) = exp ( — (Q(#)) correspond une suite caractéristique {q n } de nombres positifs définis par la relation q n Q’ (q n ) = n. Dans le sixième chapitre de [ 1 ] (voir aussi [14]), Freud démontre que toute fonction/ pour laquelle ƒw Q ∊ L peut être approchée par un polynôme p n de degré ≤n en commettant une erreur (∫|fƒ -P n \ w Q ) d'au plus Ω(ƒ, q n / n ) où Ω est un module de continuité adéquat et obtient des résultats précisés lorsque la fonction ƒ est supposée differentiate. Dans [ 2 ], Freud montre que si la r ième dérivée f (r) est à support compact et à variation bornée et si |ƒ| admet une majoration polynomiale, alors/ peut être approchée unilatéralement par des polynômes de degré ≦n (p n ≦ ƒ ≦ P n ) avec une erreur (∫(P n — p n )w Q ) inférieure à K(ƒ)(q n / n ) r+1 . Lorsque Q ( x ) = |x| p , on a q n ~ n 1/p de telle sorte que, si ρ > 1, q n /n tend vers zéro avec \/n mais, si ρ = 1, le prolongement formel direct des résultats de Freud fournit une majoration de l'erreur ne tendant pas vers zéro avec 1/n. Cependant, il suit des recherches de M. Riesz [3] (voir aussi [4]) que les fonctions à croissance polynomiale peuvent être approchées unilatéralement dans l'espace L avec poids w et, en particulier, que les polynômes sont denses dans cet espace.

Locations

• Canadian Journal of Mathematics - View - PDF