Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley

Abstract

Soient k un corps de nombres et G un groupe algébrique semi-simple défini et déployé sur k.Soient A un tore maximal de G décomposé sur k et P un Â'-sous-groupe parabolique minimal contenant A. Soit N le radical unipotent de P. On désigne par W le groupe de Weyl de G par rapport à A et par A l'anneau des adèles du corps k.Le groupe adélifié G (A) est donc un groupe localement compact.On choisit un sousgroupe compact maximal M de G (A) « adapté )) à A (cf. § 7).En particulier, on a G(A)=MP(A).Soit X* l'espace des caractères généralisés du groupe P(A), c'està-dire des homomorphismes continus de P(A) dans CT, qui sont triviaux sur P(Â-) et N(A).Un ÀeX* est déterminé par sa restriction à A (A), et en particulier W opère sur X\ De plus, X* est muni d'une structure complexe naturelle.Soit î) une représentation unitaire de dimension finie du groupe compact M. On désigne par P(î), ^) le projecteur orthogonal sur le sous-espace des vecteurs v de l'espace de î) tels queOn définit ainsi une fonction holomorphe de À, et la série d'Eisenstein £(^)= ^ L(^y,À)fi^/p(

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