Sur une transformation des fonctionnelles analytiques et ses applications aux fonctions entières de plusieurs variables

Abstract

A toute fonctionnelle analytique T portable par un convexe compact K de C^, on associe une fonction analytique GK (T) (z) par recollement.On étudie le problème d'inversion et son lien avec la transformée de Fourier-Borel t.Au produit de composition 7\ * T^ est associé le produit de composition d'Hadamard des germes à l'origine des GK (Ti), GK (T^).La méthode développée est appliquée ensuite à l'étude des fonctions entières arithmétiques et à un problème de division dans l'algèbre 0 des germes à l'origine des fonctions holomorphes pour la convolution d'Hadamard.V. AVANISSIAN ET R. GAY Si f est une fonction entière arithmétique de type exponentiel a < ao, alors f est une exponentielle-polynôme de la forme /(^) = PI 0) exp (z log ai) + ... + Pfc (z) exp (z log o^), où les Pj sont des polynômes, et les Oy des entiers algébriques situés, ainsi que tous leurs conjugués, dans Uy^.Dans son article [8], C. R. BUCK a étudié systématiquement les fonctions entières arithmétiques d'une variable.(Pour une référence détaillée, voir, par exemple, R. BOAS [6], chap.9. Dans le cas de plusieurs variables, le premier travail concernant ce genre de problème est dû à P. LELONG [12].)Le problème de la factorisation des exponentielle-polynômes remonte à J. F. RITT [18].Celui-ci a démontré que si le quotient//^ de deux exponentielle-polynômes à coefficients constants de la forme ai exp (ai z)+ ... +a^ exp (o^ z) (ay, aj e C) est une fonction entière, alors celle-ci est aussi une exponentielle-polynôme. A. SHIELD [22] généralise ce résultat toujours dans le cas d'une variable, au cas où / est à coefficients polynômes (i.e. est de la forme PI (z) exp (ai z)+ ... +PJ, (z) exp (o^ z), où les Pj sont des polynômes, et a, e C).Remarquons que l'énoncé est inexact lorsque f et g sont tous les deux à coefficients polynômes (/(z) = sin z, g (z) = z) (voir aussi [9]).Les auteurs ci-dessus font usage, dans une large mesure de la transformation de Borel dans le plan.Le présent travail ( 1 ) généralise les résultats ci-dessus au cas de plusieurs variables en utilisant les propriétés des fonctionnelles analytiques.Dans le chapitre I, à toute fonctionnelle analytique T, portable par un convexe compact de C 4 , nous associons une fonction analytique G^ (T) par recollement.On étudie le problème d'inversion et son lien avec la transformée de Fourier-Borel.L'introduction de la fonction G^ (T) permet d'étudier, d'une manière systématique, les problèmes envisagés.Au chapitre II, on associe à la convolution 7i * T^ de deux fonctionnelles analytiques (au sens de A. MARTINEAU [14]) le produit de composition d'Hadamard des germes à l'origine des G^ (Ti), G^ (T^).

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