Type: Article
Publication Date: 1998-01-01
Citations: 303
DOI: https://doi.org/10.1090/s0894-0347-98-00278-1
Bilinear restriction estimates have appeared in work of Bourgain, Klainerman, and Machedon. In this paper we develop the theory of these estimates (together with the analogues for Kakeya estimates). As a consequence we improve the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper L Superscript p Baseline comma upper L Superscript p Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(L^p,L^p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> spherical restriction theorem of Wolff from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 42 slash 11"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>42</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p > 42/11</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 34 slash 9"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>34</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p > 34/9</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and also obtain a sharp <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper L Superscript p Baseline comma upper L Superscript q Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(L^p,L^q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> spherical restriction theorem for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than 4 minus five twenty-sevenths"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q> 4 - \frac {5}{27}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.