On ℎ𝑜𝑚dim𝑀𝑈_{*}(𝑋×𝑌)

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a prime and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B bold upper Z slash p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B{\mathbf {Z}}/p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the classifying space for the cyclic group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Z slash p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {Z}}/p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of prime order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A finite complex <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is constructed such that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="hom dot dimension Subscript upper M upper U Sub Subscript asterisk Subscript Baseline upper M upper U Subscript asterisk Baseline left-parenthesis upper X times upper B bold upper Z slash p right-parenthesis greater-than hom dot dimension Subscript upper M upper U Sub Subscript asterisk Subscript Baseline upper M upper U Subscript asterisk Baseline left-parenthesis upper X right-parenthesis plus hom dot dimension Subscript upper M upper U Sub Subscript asterisk Subscript Baseline upper M upper U Subscript asterisk Baseline left-parenthesis upper B bold upper Z slash p right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>hom</mml:mi> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>hom</mml:mi> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>hom</mml:mi> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\hom \cdot {\dim _{M{U_ \ast }}}M{U_ \ast }(X \times B{\mathbf {Z}}/p) &gt; \hom \cdot {\dim _{M{U_ \ast }}}M{U_ \ast }(X) + \hom \cdot {\dim _{M{U_ \ast }}}M{U_ \ast }(B{\mathbf {Z}}/p).</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula>

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF