The asymptotics of the determinant function for a class of operators

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an elliptic pseudodifferential operator on a closed manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ord upper A greater-than dimension upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>ord</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {ord}}A &gt; \dim M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We derive the asymptotics of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="log det left-parenthesis 1 plus epsilon upper A Superscript negative 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\log \det (1 + \varepsilon {A^{ - 1}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The constant term of this asymptotics equals <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus log det upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- \log \det A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF