Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a System of Fourth-Order Boundary Value Problems

Abstract

We study the existence and multiplicity of positive solutions for the system of fourth-order boundary value problems <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>, </mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0,1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>) </mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. We use fixed point index theory to establish our main results based on a priori estimates achieved by utilizing some integral identities and inequalities and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math>-monotone matrices.

Locations

• Chinese Journal of Mathematics - View - PDF