A counterexample to Borsuk’s conjecture

Abstract

Let<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis d right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">f(d)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>be the smallest number so that every set in<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Superscript d"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{R^d}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>of diameter 1 can be partitioned into<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis d right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">f(d)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>sets of diameter smaller than 1. Borsuk’s conjecture was that<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis d right-parenthesis equals d plus 1"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">f(d) = d + 1</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. We prove that<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis d right-parenthesis greater-than-or-equal-to left-parenthesis 1.2 right-parenthesis StartRoot d EndRoot"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msqrt><mml:mi>d</mml:mi></mml:msqrt></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">f(d) \geq (1.2)\sqrt d</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>for large<italic>d</italic>.

Locations

• Bulletin of the American Mathematical Society - View - PDF