A new function associated with the prime factors of (ⁿ_{𝑘})

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the least integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="greater-than k plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">&gt; k + 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> so that all the prime factors of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartBinomialOrMatrix g left-parenthesis k right-parenthesis Choose k EndBinomialOrMatrix"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left ( {\begin {array}{*{20}{c}} {g(k)} \\ k \\ \end {array} } \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are greater than <italic>k</italic>. The irregular behavior of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is studied, obtaining the following bounds: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k Superscript 1 plus c Baseline greater-than g left-parenthesis k right-parenthesis greater-than exp left-parenthesis k left-parenthesis 1 plus o left-parenthesis 1 right-parenthesis right-parenthesis right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{k^{1 + c}} &gt; g(k) &gt; \exp \,(k(1 + o(1))).</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> Numerical values obtained for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k less-than-over-equals 52"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≦<!-- ≦ --></mml:mo> <mml:mn>52</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \leqq 52</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are listed.

Locations

• Mathematics of Computation - View - PDF