Type: Article
Publication Date: 1999-04-01
Citations: 192
DOI: https://doi.org/10.1016/s0246-0203(99)80010-7
Let n particles move in standard Brownian motion in one dimension, with the process terminating if two particles collide. This is a specific case of Brownian motion constrained to stay inside a Weyl chamber; the Weyl group for this chamber is An−1, the symmetric group. For any starting positions, we compute a determinant formula for the density function for the particles to be at specified positions at time t without having collided by time t. We show that the probability that there will be no collision up to time t is asymptotic to a constant multiple of t−n(n−1)4 as t goes to infinity, and compute the constant as a polynomial of the starting positions. We have analogous results for the other classical Weyl groups; for example, the hyperoctahedral group Bn gives a model of n independent particles with a wall at x = 0. We can define Brownian motion on a semisimple Lie algebra, viewing it as a vector space with the Killing form. Since the Killing form is invariant under the adjoint, the motion induces a process in the Weyl chamber of the Lie algebra, giving a Brownian motion conditioned never to exit the chamber. If there are m roots in n dimensions, this shows that the radial part of the conditioned process is the same as the n + 2m-dimensional Bessel process. The conditioned process also gives physical models, generalizing Dyson's model for An−1 corresponding to un of n particles moving in a diffusion with a repelling force between two particles proportional to the inverse of the distance between them. Soient n particules se déplaçant selon des mouvements browniens en dimension 1, le processus étant tué si deux particules se rencontrent. C'est un cas particulier du mouvement brownien contraint à rester dans une chambre de Weyl; le groupe de Weyl pour cette chambre est An−1, le groupe symétrique. Pour toutes les positions initiales, nous calculons une formule de déterminant qui donne la fonction de densité pour les positions des particules à l'instant t lorsqu'elles ne se sont pas rencontrées avant t. Nous démontrons que la probabilité qu'il n'y ait pas de collision avant le temps t se comporte comme tn(n−1)4 quand t → ∞, et nous calculons la constante intervenant en fonction des positions initiales. Nous donnons des résultats analogues pour les autres groupes de Weyl classiques; par exemple, le groupe Bn donne un modèle de n particules indépendantes avec un mur en x = 0. On peut définir le mouvement brownien sur une algèbre de Lie semisimple en considérant l'algèbre comme un espace vectoriel avec la forme de killing. Puisque la forme de killing est invariante par l'adjoint, le mouvement induit un processus dans la chambre de Weyl. Ceci donné un mouvement brownien conditionnéà ne jamais sortir de la chambre. S'ily a m racines en n dimensions, la partie radiale du processus conditionné est identique au processus de Bessel en (n + 2m) dimensions. Le processus donne aussi des modèles physiques qui généralisent le modèle de Dyson pour An−1 correspondant à un, avec n particules en diffusion et une force répulsive pour chaque paire de particules proportionnelle à l'inverse de la distance entre ces particules.