The rate of convergence of Hermite function series

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the least upper bound of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma"> <mml:semantics> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis z right-parenthesis tilde upper O left-parenthesis e Superscript minus q StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue gamma Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∼<!-- ∼ --></mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(z) \sim O({e^{ - q|z|\gamma }})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for some positive constant <italic>q</italic> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|z| \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the real axis. It is then proved that at least an infinite subsequence of the coefficients <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace a Subscript n Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ {a_n}\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis z right-parenthesis equals e Superscript minus z squared slash 2 Baseline sigma-summation Underscript n equals 0 Overscript normal infinity Endscripts a Subscript n Baseline upper H Subscript n Baseline left-parenthesis z right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(z) = {e^{ - {z^2}/2}}\sum \limits _{n = 0}^\infty {{a_n}{H_n}(z),}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are the normalized Hermite polynomials, must satisfy certain lower bounds. The theorems show two striking facts. First, the convergence rate of a Hermite series depends not only upon the order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho"> <mml:semantics> <mml:mi>ρ<!-- ρ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for an entire function or the location of the nearest singularity for a singular function as for a power series but also upon <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, thus making the convergence theory of Hermitian series more complicated (and interesting) than that for any ordinary Taylor expansion. Second, the poorer the match between the asymptotic behavior of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="exp left-parenthesis negative 1 slash 2 z squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\exp (-1/2 z^2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the poorer the convergence of the Hermite series will be.

Locations

• Mathematics of Computation - View - PDF