Parity results for certain partition functions and identities similar to theta function identities

Abstract

In this paper we give a collection of parity results for partition functions of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="product Underscript n element-of upper S Endscripts left-parenthesis 1 minus x Superscript n Baseline right-parenthesis Superscript negative 1 Baseline identical-to sigma-summation Underscript negative normal infinity Overscript normal infinity Endscripts x Superscript e left-parenthesis n right-parenthesis Baseline left-parenthesis mod 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="0.667em" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em" /> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\prod _{n \in S} (1 - x^n)^{-1} \equiv \sum _{-\infty }^\infty x^{e(n)} \pmod 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="product Underscript n element-of upper S Endscripts left-parenthesis 1 minus x Superscript n Baseline right-parenthesis Superscript negative 1 Baseline identical-to sigma-summation Underscript negative normal infinity Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis x Superscript e left-parenthesis n right-parenthesis Baseline plus x Superscript f left-parenthesis n right-parenthesis Baseline right-parenthesis left-parenthesis mod 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="0.667em" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em" /> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\prod _{n \in S} (1 - x^n)^{-1} \equiv \sum _{-\infty }^\infty (x^{e(n)} + x^{f(n)})\pmod 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for various sets of positive integers <italic>S</italic>, which are specified with respect to a modulus, and quadratic polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Several identities similar to theta function identities, such as <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="product Underscript StartLayout 1st Row n equals 1 2nd Row n not-identical-to plus-or-minus left-parenthesis 4 comma 6 comma 8 comma 10 right-parenthesis left-parenthesis mod 32 right-parenthesis EndLayout Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis 1 minus x Superscript n Baseline right-parenthesis equals 1 plus sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis negative 1 right-parenthesis Superscript n Baseline left-parenthesis x Superscript n squared Baseline plus x Superscript 2 n squared Baseline right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-BIN"> <mml:mo>≢</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="0.667em" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em" /> <mml:mn>32</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\prod _{\substack {n = 1\\n \nequiv \pm (4,6,8,10)\pmod {32}}}^\infty (1 - x^n) = 1 + \sum _{n = 1}^\infty (-1)^n (x^{n^2} + x^{2 n^2}),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and its associated congruence <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="product Underscript StartLayout 1st Row n equals 1 2nd Row n not-identical-to 0 comma plus-or-minus 2 comma plus-or-minus 12 comma plus-or-minus 14 comma 16 left-parenthesis mod 32 right-parenthesis EndLayout Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis 1 minus x Superscript n Baseline right-parenthesis Superscript negative 1 Baseline identical-to 1 plus sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis x Superscript n squared Baseline plus x Superscript 2 n squared Baseline right-parenthesis left-parenthesis mod 2 right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-BIN"> <mml:mo>≢</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em" /> <mml:mn>32</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="0.667em" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em" /> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\prod _{\substack {n = 1\\n \nequiv 0, \pm 2, \pm 12, \pm 14,16 \pmod {32}}}^\infty (1 - x^n)^{-1} \equiv 1 + \sum _{n = 1}^\infty (x^{n^2} + x^{2 n^2}) \pmod 2,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> are also proved.

Locations

• Mathematics of Computation - View - PDF