Smooth extensions in infinite dimensional Banach spaces

Abstract

If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l Subscript p Baseline left-parenthesis omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{l_p}(\omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c 0 left-parenthesis omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{c_0}(\omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has the following extension property. Any homeomorphism from a compact subset <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> may be extended to a homeomorphism of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> onto <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> diffeomorphism on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B minus upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖<!-- ∖ --></mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B\backslash M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to its image in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This is done by writing <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as a direct sum of closed subspaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> both isomorphically isometric to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> so that the natural projection of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> along <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is one-to-one (see H. H. Corson, contribution in <italic>Symposium on infinite dimensional topology</italic>, Ann. of Math. Studies (to appear)). With <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K comma upper B comma upper B 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K,B,{B_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as above a homeomorphism of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> onto itself is constructed which leaves the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-coordinates of points in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> unchanged, carries <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> diffeomorphic map on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B minus upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖<!-- ∖ --></mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B\backslash K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. From these results the extension theorem may be proved by standard methods.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF