A companion to the Oseledec multiplicative ergodic theorem

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F 1 comma upper F 2 comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{F_1},{F_2}, \ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a stationary sequence of continuously differentiable mappings from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket 0 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[0,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into the set of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d times d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d \times d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> matrices. Assume <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Subscript k Baseline left-parenthesis 0 right-parenthesis equals upper I"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{F_k}(0) = I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E left-bracket sup Underscript 0 less-than-or-equal-to p less-than-or-equal-to 1 Endscripts StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue upper F prime Subscript k Baseline left-parenthesis p right-parenthesis StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue right-bracket greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E[{\sup _{0 \leq p \leq 1}}||{F’_k}(p)||] &gt; \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper I"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {I}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the invariant sigma field for the sequence. Then <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts upper F Subscript n Baseline left-parenthesis StartFraction 1 Over n EndFraction right-parenthesis midline-horizontal-ellipsis upper F 2 left-parenthesis StartFraction 1 Over n EndFraction right-parenthesis upper F 1 left-parenthesis StartFraction 1 Over n EndFraction right-parenthesis equals exp upper E left-bracket upper F prime 1 left-parenthesis 0 right-parenthesis vertical-bar script upper I right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{n \to \infty } {F_n}\left ( {\frac {1}{n}} \right ) \cdots {F_2}\left ( {\frac {1}{n}} \right ){F_1}\left ( {\frac {1}{n}} \right ) = \exp E[{F’_1}(0)|\mathcal {I}]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> with probability one.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF