On ergodic sequences of measures

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the group of integers and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> its Bohr compactification. A sequence of probability measures <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet mu Subscript n Baseline comma n equals 1 comma 2 comma ellipsis EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ {\mu _n},n = 1,2, \ldots \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> defined on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is said to be ergodic provided <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mu _n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> converges weakly to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar \mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the Haar measure on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript n Baseline subset-of upper Z comma n equals 1 comma 2 comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_n} \subset Z,n = 1,2, \ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mu _n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript n Baseline left-parenthesis upper B right-parenthesis equals StartAbsoluteValue upper A Subscript n Baseline intersection upper B EndAbsoluteValue slash StartAbsoluteValue upper A Subscript n Baseline EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mu _n}(B) = |{A_n} \cap B|/|{A_n}|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper B EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|B|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the cardinality of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then it is easy to show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper A Subscript n Baseline intersection upper A Subscript n Baseline plus k EndAbsoluteValue slash StartAbsoluteValue upper A Subscript n Baseline EndAbsoluteValue right-arrow 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|{A_n} \cap {A_n} + k|/|{A_n}| \to 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k element-of upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \in Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mu _n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is ergodic. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to p Subscript k Baseline less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \leq {p_k} \leq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In this paper we construct (random) sequences <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace mu Subscript n Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ {\mu _n}\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which are ergodic, and such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit left-parenthesis StartAbsoluteValue upper A Subscript n Baseline intersection upper A Subscript n Baseline plus k EndAbsoluteValue slash StartAbsoluteValue upper A Subscript n Baseline EndAbsoluteValue right-parenthesis equals p Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim (|{A_n} \cap {A_n} + k|/|{A_n}|) = {p_k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k element-of upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \in Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF