A unimodality result in the enumeration of subgroups of a finite abelian group

Abstract

The number of subgroups of order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p^k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in an abelian group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a polynomial in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p comma alpha Subscript left-semidirect-product Baseline left-parenthesis k semicolon p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>⋋<!-- ⋋ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p,{\alpha _ \leftthreetimes }(k;p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, determined by the type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is well known that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha Subscript left-semidirect-product Baseline left-parenthesis k semicolon p right-parenthesis equals alpha Subscript left-semidirect-product Baseline left-parenthesis n minus k semicolon p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>⋋<!-- ⋋ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>⋋<!-- ⋋ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\alpha _ \leftthreetimes }(k;p) = {\alpha _ \leftthreetimes }(n - k;p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Using a recent result from the theory of Hall-Littlewood symmetric functions, we prove that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha Subscript left-semidirect-product Baseline left-parenthesis k semicolon p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>⋋<!-- ⋋ --></mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\alpha _ \leftthreetimes }(k;p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, is a unimodal sequence of polynomials. That is, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to n slash 2 comma alpha Subscript lamda Baseline left-parenthesis k semicolon p right-parenthesis minus alpha Subscript lamda Baseline left-parenthesis k minus 1 semicolon p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 \leq k \leq n/2,{\alpha _\lambda }(k;p) - {\alpha _\lambda }(k - 1;p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a polynomial in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with nonnegative coefficients.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF