On the locus of Hodge classes

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a nonsingular complex algebraic variety and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper V"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {V}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a polarized variation of Hodge structure of weight <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with polarization form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q"> <mml:semantics> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Given an integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{S^{(K)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the space of pairs <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis s comma u right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(s,u)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s \in S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u element-of script upper V Subscript s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u \in {\mathcal {V}_s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> integral of type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis p comma p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(p,p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q left-parenthesis u comma u right-parenthesis less-than-or-equal-to upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q(u,u) \leq K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We show in Theorem 1.1 that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{S^{(K)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an algebraic variety, finite over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper V"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {V}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the local system <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript 2 p Baseline left-parenthesis upper X Subscript s Baseline comma double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^{2p}}({X_s},\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>/torsion associated with a family of nonsingular projective varieties parametrized by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the result implies that the locus where a given integral class of type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis p comma p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(p,p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> remains of type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis p comma p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(p,p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is algebraic.

Locations

• Journal of the American Mathematical Society - View - PDF