Type: Article
Publication Date: 1993-01-01
Citations: 7
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1993-1155600-7
For a class of regions with cusps (e.g., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega equals left-brace left-parenthesis x comma y right-parenthesis colon x greater-than 1 comma StartAbsoluteValue y EndAbsoluteValue greater-than exp left-parenthesis minus x Superscript alpha Baseline right-parenthesis right-brace comma 0 greater-than alpha greater-than 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo><!-- --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega = \{ (x,y):x > 1,|y| > \exp ( - {x^\alpha })\} ,\;0 > \alpha > 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) we show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript a c Baseline left-parenthesis minus normal upper Delta Subscript upper N Superscript normal upper Omega Baseline right-parenthesis equals left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>ac</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\sigma _{\operatorname {ac} }}( - \Delta _N^\Omega ) = [0,\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of uniform multiplicity one, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript s i n g Baseline left-parenthesis minus normal upper Delta Subscript upper N Superscript normal upper Omega Baseline right-parenthesis equals normal empty-set"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>sing</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅<!-- ∅ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\sigma _{\operatorname {sing} }}( - \Delta _N^\Omega ) = \emptyset</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript p p Baseline left-parenthesis minus normal upper Delta Subscript upper N Superscript normal upper Omega Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>pp</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\sigma _{\operatorname {pp} }}( - \Delta _N^\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> consists of a discrete set of embedded eigenvalues of finite multiplicity.