Strongly ergodic sequences of integers and the individual ergodic theorem

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S equals StartSet k 1 comma k 2 comma ellipsis EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S = \{ {k_1},{k_2}, \ldots \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an increasing sequence of positive integers. We call <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>strongly ergodic</italic> if for every measure preserving transformation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on a probability space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis normal upper Omega comma script upper F comma upper P right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\Omega ,\mathcal {F},P)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper L 1 left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f \in {L_1}(\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we have <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts left-parenthesis 1 slash n right-parenthesis sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript n Endscripts f left-parenthesis upper T Superscript k j Baseline omega right-parenthesis equals upper P f left-parenthesis omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lim _{n \to \infty }}(1/n)\sum \nolimits _{j = 1}^n {f({T^{kj}}\omega ) = Pf(\omega )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a.e. where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Pf</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the appropriate limit guaranteed by the individual ergodic theorem. We give sufficient conditions for a sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be strongly ergodic and provide examples.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF