Type: Article
Publication Date: 1985-01-01
Citations: 76
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1985-0792822-9
We show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 comma omega comma omega 1 comma omega times omega 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1,\omega ,{\omega _1},\omega \times {\omega _1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket omega 1 right-bracket Superscript greater-than omega"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{[{\omega _1}]^{ > \omega }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are the only cofinal types of directed sets of size <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal alef 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">ℵ<!-- ℵ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\aleph _1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, but that there exist many cofinal types of directed sets of size continuum.