Twistor spaces with Hermitian Ricci tensor

Abstract

The twistor space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of an oriented Riemannian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4"> <mml:semantics> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> admits a natural <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-parameter family of Riemannian metrics <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Subscript t"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{h_t}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> compatible with the almost-complex structures <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{J_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{J_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> introduced, respectively, by Atiyah, Hitchin and Singer, and Eells and Salamon. In the present note we describe the (real-analytic) manifolds <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which the Ricci tensor of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper Z comma h Subscript t Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left ( {Z,{h_t}} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{J_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-Hermitian, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 1 or 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>or</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n = 1\;{\text {or}}\;2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This is used to supply examples giving a negative answer to the Blair and Ianus question of whether a compact almost-Kähler manifold with Hermitian Ricci tensor is Kählerian.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF