A Bernstein-type inequality for the Jacobi polynomial

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the Jacobi polynomial of degree <italic>n</italic>. For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="negative one half less-than-or-equal-to alpha comma beta less-than-or-equal-to one half"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- \frac {1}{2} \leq \alpha ,\beta \leq \frac {1}{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to theta less-than-or-equal-to pi"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \leq \theta \leq \pi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, it is proved that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis sine StartFraction theta Over 2 EndFraction right-parenthesis Superscript alpha plus one half Baseline left-parenthesis cosine StartFraction theta Over 2 EndFraction right-parenthesis Superscript beta plus one half Baseline StartAbsoluteValue upper P Subscript n Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline left-parenthesis cosine theta right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to StartFraction normal upper Gamma left-parenthesis q plus 1 right-parenthesis Over normal upper Gamma left-parenthesis one half right-parenthesis EndFraction StartBinomialOrMatrix n plus q Choose n EndBinomialOrMatrix upper N Superscript negative q minus one half Baseline comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{(\sin \frac {\theta }{2})^{\alpha + \frac {1}{2}}}{(\cos \frac {\theta }{2})^{\beta + \frac {1}{2}}}|P_n^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )| \leq \frac {{\Gamma (q + 1)}}{{\Gamma (\frac {1}{2})}}\left ( {\begin {array}{*{20}{c}} {n + q} \\ n \\ \end {array} } \right ){N^{ - q - \frac {1}{2}}},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q equals max left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q = \max (\alpha ,\beta )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N equals n plus one half left-parenthesis alpha plus beta plus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N = n + \frac {1}{2}(\alpha + \beta + 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha equals beta equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha = \beta = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, this reduces to a sharpened form of the well-known Bernstein inequality for the Legendre polynomial.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF