Weighted weak-type $(1,1)$ inequalities for rough operators

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be homogeneous of degree 0, have mean value 0 on the circle, and belong to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript q Baseline left-parenthesis upper S Superscript 1 Baseline right-parenthesis comma 1 greater-than q less-than-or-equal-to normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^q}\left ( {{S^1}} \right ),1 &gt; q \leq \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then the two-dimensional operator defined by <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T f left-parenthesis x right-parenthesis equals pv integral normal upper Omega left-parenthesis y right-parenthesis StartAbsoluteValue y EndAbsoluteValue Superscript negative 2 Baseline f left-parenthesis x minus y right-parenthesis d y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>pv</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Tf\left ( x \right ) = {\text {pv}}\int {\Omega \left ( y \right ){{\left | y \right |}^{ - 2}}} f\left ( {x - y} \right )dy</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is shown to be of weak-type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(1,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with respect to the weighted measures <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue Superscript alpha Baseline d x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\left | x \right |^\alpha }dx</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="negative 2 plus 1 slash q greater-than alpha greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- 2 + 1/q &gt; \alpha &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Under the weaker assumption that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> belongs to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L log Superscript plus Baseline upper L left-parenthesis upper S Superscript 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L\,{\log ^ + }L\left ( {{S^1}} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the same result holds if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="negative 1 greater-than alpha greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- 1 &gt; \alpha &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Similar results are also obtained for the related maximal operator <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript normal upper Omega Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals sup Underscript r greater-than 0 Endscripts r Superscript negative 2 Baseline integral Underscript StartAbsoluteValue y EndAbsoluteValue greater-than r Endscripts StartAbsoluteValue normal upper Omega left-parenthesis y right-parenthesis f left-parenthesis x minus y right-parenthesis EndAbsoluteValue d y period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{M_\Omega }f\left ( x \right ) = \sup \limits _{r &gt; 0} {r^{ - 2}}\int _{|y| &gt; r} {\left | {\Omega \left ( y \right )f\left ( {x - y} \right )} \right |dy.}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula>

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF