𝐴_{∞}-condition for the Jacobian of a quasiconformal mapping

Abstract

We show that the Jacobian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript f"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{J_f}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a quasi-conformal mapping <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon bold upper B Superscript n Baseline right-arrow upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f:{{\mathbf {B}}^n} \to D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-weight in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper B Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {B}}^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if and only if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a John domain. A similar question concerning <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript f minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{J_{f - 1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is also studied.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF