Criteria for compactness and for discreteness of locally compact amenable groups

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a locally compact group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P left-parenthesis upper G right-parenthesis equals left-brace 0 less-than-over-equals phi element-of upper L 1 left-parenthesis upper G right-parenthesis semicolon integral phi left-parenthesis x right-parenthesis d x equals 1 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≦<!-- ≦ --></mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P(G) = \{ 0 \leqq \phi \in {L_1}(G);\int {\phi (x)dx = 1\} }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis l Subscript a Baseline f right-parenthesis left-parenthesis x right-parenthesis equals Subscript a Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis a x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({l_a}f)(x) = {}_af(x) = f(ax)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a comma x element-of upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a,x \in G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper G right-parenthesis .0 less-than-over-equals normal upper Psi element-of upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper G right-parenthesis Superscript asterisk Baseline comma normal upper Psi left-parenthesis 1 right-parenthesis equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>.0</mml:mn> <mml:mo>≦<!-- ≦ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f \in {L^\infty }(G).0 \leqq \Psi \in {L^\infty }{(G)^ \ast },\Psi (1) = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is said to be a [topological] left invariant mean ([TLIM] LIM) if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi left-parenthesis Subscript a Baseline f right-parenthesis equals normal upper Psi left-parenthesis f right-parenthesis left-bracket normal upper Psi left-parenthesis phi asterisk f right-parenthesis equals normal upper Psi left-parenthesis f right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>(</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi {{\text {(}}_a}f) = \Psi (f)[\Psi (\phi \ast f) = \Psi (f)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>] for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a element-of upper G comma phi element-of upper P left-parenthesis upper G right-parenthesis comma f element-of upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a \in G,\phi \in P(G),f \in {L^\infty }(G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The main result of this paper is the Theorem. <italic>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a locally compact group, amenable as a discrete group. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains an open <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma"> <mml:semantics> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-compact normal subgroup, then LIM = TLIM if and only if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is discrete. In particular if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an infinite compact amenable as discrete group then there exists some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Psi element-of upper L upper I upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ<!-- Ψ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Psi \in LIM</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which is different from normalized Haar measure. A harmonic analysis type interpretation of this and related results are given at the end of this paper</italic>.<inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">^{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF