Area integral estimates for the biharmonic operator in Lipschitz domains

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D subset-of-or-equal-to bold upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D \subseteq {{\mathbf {R}}^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Lipschitz domain and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a function biharmonic in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, i.e., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta normal upper Delta u equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta \Delta u= 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We prove that the nontangential maximal function and the square function of the gradient of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> have equivalent <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p Baseline left-parenthesis d mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^p}(d\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> norms, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d mu element-of upper A Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis d sigma right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\mu \in {A^\infty }\,(d\sigma )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d sigma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\sigma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is surface measure on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF