Navier-Stokes equations on thin 3D domains. I. Global attractors and global regularity of solutions

Abstract

We examine the Navier-Stokes equations (NS) on a thin <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-dimensional domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega Subscript epsilon Baseline equals upper Q 2 times left-parenthesis 0 comma epsilon right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Omega _\varepsilon } = {Q_2} \times (0,\varepsilon )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{Q_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a suitable bounded domain in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon"> <mml:semantics> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a small, positive, real parameter. We consider these equations with various homogeneous boundary conditions, especially spatially periodic boundary conditions. We show that there are <italic>large</italic> sets <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper R left-parenthesis epsilon right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {R}(\varepsilon )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis normal upper Omega Subscript epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^1}({\Omega _\varepsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper S left-parenthesis epsilon right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {S}(\varepsilon )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Superscript 1 comma normal infinity Baseline left-parenthesis left-parenthesis 0 comma normal infinity right-parenthesis comma upper L squared left-parenthesis normal upper Omega Subscript epsilon Baseline right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W^{1,\infty }}((0,\infty ),{L^2}({\Omega _\varepsilon }))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U 0 element-of script upper R left-parenthesis epsilon right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{U_0} \in \mathcal {R}(\varepsilon )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F element-of script upper S left-parenthesis epsilon right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F \in \mathcal {S}(\varepsilon )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then (NS) has a strong solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">U(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that remains in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis normal upper Omega Subscript epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^1}({\Omega _\varepsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t \geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H squared left-parenthesis normal upper Omega Subscript epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^2}({\Omega _\varepsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We show that the set of strong solutions of (NS) has a local attractor <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper A Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak {A}_\varepsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis normal upper Omega Subscript epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^1}({\Omega _\varepsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, which is compact in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H squared left-parenthesis normal upper Omega Subscript epsilon Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^2}({\Omega _\varepsilon })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Furthermore, this local attractor <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper A Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak {A}_\varepsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> turns out to be the global attractor for all the weak solutions (in the sense of Leray) of (NS). We also show that, under reasonable assumptions, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper A Subscript epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak {A}_\varepsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is upper semicontinuous at <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Journal of the American Mathematical Society - View - PDF