Algebraic extensions of power series rings

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J"> <mml:semantics> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be integral domains such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D subset-of upper J"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>⊂<!-- ⊂ --></mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D \subset J</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J[[X]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not algebraic over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D[[X]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Is it necessarily the case that there exists an integral domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket subset-of upper R subset-of-or-equal-to upper J left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>⊂<!-- ⊂ --></mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D[[X]] \subset R \subseteq J[[X]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R approximately-equals upper D left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket left-bracket left-bracket left-brace upper Y Subscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 Superscript normal infinity Baseline right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>≅<!-- ≅ --></mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \cong D[[X]][[\{ {Y_i}\} _{i = 1}^\infty ]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>? While the general question remains open, the question is answered affirmatively in a number of cases. For example, if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies any one of the conditions (1) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Noetherian, (2) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is integrally closed, (3) the quotient field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is countably generated as a ring over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or (4) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has Krull dimension one, then an affirmative answer is given. Further, in the Noetherian case it is shown that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J[[X]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is algebraic over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D[[X]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if and only if it is integral over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-bracket left-bracket upper X right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D[[X]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and necessary and sufficient conditions are given on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J"> <mml:semantics> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in order that this occur. Finally if, for every positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-bracket left-bracket upper X 1 comma ellipsis comma upper X Subscript n Baseline right-bracket right-bracket subset-of upper R subset-of-or-equal-to upper J left-bracket left-bracket upper X 1 comma ellipsis comma upper X Subscript n Baseline right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>⊂<!-- ⊂ --></mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D[[{X_1}, \ldots ,{X_n}]] \subset R \subseteq J[[{X_1}, \ldots ,{X_n}]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> implies that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R approximately-but-not-actually-equals upper D left-bracket left-bracket upper X 1 comma ellipsis comma upper X Subscript n Baseline right-bracket right-bracket left-bracket left-bracket left-brace upper Y Subscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 Superscript normal infinity Baseline right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>≆<!-- ≆ --></mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \ncong D[[{X_1}, \ldots ,{X_n}]][[\{ {Y_i}\} _{i = 1}^\infty ]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then it is shown that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J left-bracket left-bracket upper X 1 comma ellipsis comma upper X Subscript n Baseline right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J[[{X_1}, \ldots ,{X_n}]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is algebraic over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-bracket left-bracket upper X 1 comma ellipsis comma upper X Subscript n Baseline right-bracket right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D[[{X_1}, \ldots ,{X_n}]]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF