The Tamagawa number conjecture of adjoint motives of modular forms

Abstract

Let f be a newform of weight k⩾2, level N with coefficients in a number field K, and A the adjoint motive of the motive M associated to f. We carefully discuss the construction of the realisations of M and A, as well as natural integral structures in these realisations. We then use the method of Taylor and Wiles to verify the λ-part of the Tamagawa number conjecture of Bloch and Kato for L(A,0) and L(A,1). Here λ is any prime of K not dividing Nk!, and so that the mod λ representation associated to f is absolutely irreducible when restricted to the Galois group over Q((−1)(ℓ−1)/2ℓ) where λ|ℓ. The method also establishes modularity of all lifts of the mod λ representation which are crystalline of Hodge–Tate type (0,k−1). Soient f une forme nouvelle de poids k, de conducteur N, à coefficients dans un corps de nombres K, et A le motif adjoint du motif M associé à f. Nous présentons en détail les réalisations des motifs M et A avec leurs réseaux entiers naturels. En utilisant les méthodes de Taylor–Wiles nous prouvons la partie λ-primaire de la conjecture de Bloch–Kato pour L(A,0) et L(A,1). Ici λ est une place de K ne divisant pas Nk! et telle que la représentation modulo λ associée à f, restreinte au groupe de Galois du corps Q((−1)(ℓ−1)/2ℓ) avec λ|ℓ, est irréductible. Notre méthode démontre aussi la modularité de toutes les représentations λ-adiques cristallines de type de Hodge–Tate (0,k−1) congrues à la représentation associée à f modulo λ.

Locations

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• French digital mathematics library (Numdam) - View - PDF