Type: Article
Publication Date: 1998-01-01
Citations: 11
DOI: https://doi.org/10.1090/s0025-5718-98-00916-8
In this paper, criteria of divisibility of the class number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the real cyclotomic field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q left-parenthesis zeta Subscript p Baseline plus zeta Subscript p Superscript negative 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ζ<!-- ζ --></mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ζ<!-- ζ --></mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {Q}(\zeta _p+\zeta _p^{-1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a prime conductor <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and of a prime degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l"> <mml:semantics> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">l</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the order modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l"> <mml:semantics> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">l</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of which is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction l minus 1 Over 2 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {l-1}{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, are given. A corollary of these criteria is the possibility to make a computational proof that a given <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> does not divide <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h^+</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (conductor) such that both <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction p minus 1 Over 2 EndFraction comma StartFraction p minus 3 Over 4 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {p-1}{2},\frac {p-3}{4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are primes. Note that on the basis of Schinzel’s hypothesis there are infinitely many such primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.