Schrödinger operator methods in the study of a certain nonlinear P.D.E

Abstract

We prove that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta u plus h u Superscript alpha Baseline equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta u + h{u^\alpha } = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has no positive solutions for certain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by studying the linearized equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis normal upper Delta plus h u Superscript alpha minus 1 Baseline right-parenthesis psi equals e psi"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\Delta + h{u^{\alpha - 1}})\psi = e\psi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF