Homology of branched cyclic covers of knots

Abstract

This paper presents a new formula for the first integral homology group of the branched cyclic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-fold cover <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Sigma Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Sigma _p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a knot <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-sphere. Given a diagram of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> crossings, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis k minus 1 right-parenthesis times left-parenthesis k minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(k - 1) \times (k - 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> Alexander matrix of the diagram. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C equals upper A left-parenthesis 1 right-parenthesis Superscript negative 1 Baseline upper A left-parenthesis 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C = A{(1)^{ - 1}}A(0)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I"> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the identity matrix. Then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper C minus upper I right-parenthesis Superscript p Baseline minus upper C Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{(C - I)^p} - {C^p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a presentation matrix for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 1 left-parenthesis normal upper Sigma Subscript p Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H_1}({\Sigma _p})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF