Type: Article
Publication Date: 1984-01-01
Citations: 26
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1984-0727239-0
For each positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we construct a smooth curve <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R Superscript 4"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {R}}^4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the least area of a surface (integral current) with boundary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is less than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n slash k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n/k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the least area of a surface with boundary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k normal upper Gamma left-parenthesis 1 less-than-or-slanted-equals k greater-than n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\Gamma \left ( {1 \leqslant k > n} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.