Type: Article
Publication Date: 1991-01-01
Citations: 32
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1991-0967310-x
For a Lie group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with left-invariant Haar measure and associated Lebesgue spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p Baseline left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^p}(G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we consider the heat kernels <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace p Subscript t Baseline right-brace Subscript t greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\{ {p_t}\} _{t > 0}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> arising from a right-invariant Laplacian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: that is, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u left-parenthesis t comma dot right-parenthesis equals p Subscript t Baseline asterisk f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u(t, \cdot ) = {p_t}{\ast }f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> solves the heat equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis partial-differential slash partial-differential t minus normal upper Delta right-parenthesis u equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\partial /\partial t - \Delta )u = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with initial condition <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u left-parenthesis 0 comma dot right-parenthesis equals f left-parenthesis dot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u(0, \cdot ) = f( \cdot )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We establish weak-type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(1,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> estimates for the maximal operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M left-parenthesis script upper M f equals sup Underscript t greater-than 0 Endscripts StartAbsoluteValue p Subscript t Baseline asterisk f EndAbsoluteValue right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {M}(\mathcal {M}\;f = {\sup _{t > 0}}|{p_t}{\ast }f|)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and for related Hardy-Littlewood maximal operators in a variety of contexts, namely for groups of polynomial growth and for a number of classes of Iwasawa <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">AN</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> groups. We also study the "local" maximal operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper M 0 left-parenthesis script upper M 0 f equals sup Underscript 0 greater-than t greater-than 1 Endscripts StartAbsoluteValue p Subscript t Baseline asterisk f EndAbsoluteValue right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {M}_0}({\mathcal {M}_0}f = {\sup _{0 > t > 1}}|{p_t}{\ast }f|)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and related Hardy-Littlewood operators for all Lie groups.