On odd-primary components of Lie groups

Abstract

The transfer map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t colon pi Superscript s Baseline left-parenthesis upper P Subscript normal infinity Baseline bold upper C right-parenthesis right-arrow pi Superscript s Baseline left-parenthesis upper S Superscript 0 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t:{\pi ^s}({P_\infty }{\mathbf {C}}) \to {\pi ^s}({S^0})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is represented by an element <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="tau element-of pi Subscript s Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis upper P Subscript normal infinity Baseline bold upper C Superscript plus Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>τ<!-- τ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\tau \in \pi _s^{ - 1}({P_\infty }{{\mathbf {C}}^ + })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We compute the Adams-<italic>e</italic>-invariant of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="tau"> <mml:semantics> <mml:mi>τ<!-- τ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\tau</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and use this and the splitting of the <italic>p</italic>-localization of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript 1 Baseline logical-and upper P Subscript normal infinity Baseline bold upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>∧<!-- ∧ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{S^1} \wedge {P_\infty }{\mathbf {C}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into a wedge of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis p minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(p - 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> spaces to prove that for a prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than-or-slanted-equals 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p \geqslant 5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the <italic>p</italic>-component of the element <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper G comma script upper L right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[G,\mathcal {L}]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> defined by a compact Lie group <italic>G</italic> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pi Subscript asterisk Superscript s"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\pi _ \ast ^s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is zero in the known part of stable homotopy.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF