Type: Article
Publication Date: 1978-01-01
Citations: 11
DOI: https://doi.org/10.1090/s0025-5718-1978-0480416-4
For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k element-of bold upper Z minus StartSet 0 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖<!-- ∖ --></mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \in {\mathbf {Z}}\backslash \{ 0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there is a close connection between a certain subgroup of the Selmer group of the elliptic curve given by: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y squared equals x cubed plus k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{y^2} = {x^3} + k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and the group of elements of order 2 of the class group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Cl left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {Cl}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q left-parenthesis RootIndex 3 StartRoot k EndRoot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mroot> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mroot> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {Q}}(\sqrt [3]{k})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denoted by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Cl Subscript 2 Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {Cl}_2}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (cf. [4]). In the following paper we give some consequences of this fact, that make the computation of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Cl Subscript 2 Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {Cl}_2}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> considerably easier. For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than 10 000"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>000</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k > 10\,000</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we compute <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Cl Subscript 2 Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {Cl}_2}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by methods developed in [2], and by using [1] we get the structure of the 2-primary part of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Cl left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {Cl}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with the exception of 39 cases.