Distribution of eigenvalues of a two-parameter system of differential equations

Abstract

In this paper two simultaneous Sturm-Liouville systems are considered, the first defined for the interval <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-slanted-equals x 1 less-than-or-slanted-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0\, \leqslant \,{x_1}\, \leqslant \,1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the second for the interval <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-slanted-equals x 2 less-than-or-slanted-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace" /> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0\, \leqslant \,{x_{2\,}}\, \leqslant \,1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and each containing the parameters <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Denoting the eigenvalues and eigenfunctions of the simultaneous systems by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis lamda Subscript j comma k Baseline comma mu Subscript j comma k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({\lambda _{j,k}},{\mu _{j,k}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi Subscript j comma k Baseline left-parenthesis x Subscript 1 comma Baseline x 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\psi _{j,k}}({x_{1,}}{x_2})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j comma k equals 0 comma 1 comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j,\,k\, = \,0,\,1,\, \ldots \,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, asymptotic methods are employed to derive asymptotic formulae for these expressions, as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j plus k right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j + k \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis j comma k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(j,\,k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is restricted to lie in a certain sector of the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(x,\,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -plane. These results constitute a further stage in the development of the theory related to the behaviour of the eigenvalues and eigenfunctions of multiparameter Sturm-Liouville systems and answer an open question concerning the uniform boundedness of the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi Subscript j comma k Baseline left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\psi _{j,k}}\,({x_1},\,{x_2})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF