Multipliers on Generalized Mixed Norm Sequence Spaces

Abstract

Given<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:math>and sequences of integers<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>such that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, the generalized mixed norm space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ℐ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is defined as those sequences<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>such that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">‍</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ℕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mo> </mml:mo><mml:mtext>s</mml:mtext><mml:mtext>.</mml:mtext><mml:mtext>t</mml:mtext><mml:mtext>.</mml:mtext><mml:mo> </mml:mo><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi mathvariant="normal" /><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ℕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>. The necessary and sufficient conditions for a sequence<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>to belong to the space of multipliers<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ℐ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>𝒥</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, for different sequences<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:mi>ℐ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mrow><mml:mi>𝒥</mml:mi></mml:mrow></mml:math>of intervals in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ℕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, are determined.

Locations

• Project Euclid (Cornell University) - View - PDF
• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View
• Abstract and Applied Analysis - View - PDF