A strong type (2,2) estimate for a maximal operator associated to the Schrödinger equation

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript asterisk Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals sup Underscript t greater-than 0 Endscripts StartAbsoluteValue upper T Subscript t Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{T^{\ast } }f(x) = \sup _{t &gt; 0}|{T_t}f(x)|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper T Subscript t Baseline f right-parenthesis Superscript ModifyingAbove With caret Baseline left-parenthesis xi right-parenthesis equals e Superscript i t StartAbsoluteValue xi EndAbsoluteValue squared Baseline ModifyingAbove f With caret left-parenthesis xi right-parenthesis slash StartAbsoluteValue xi EndAbsoluteValue Superscript 1 slash 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mrow /> <mml:mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({T_t}f)^{\hat {}}(\xi ) = {e^{it|\xi |^2}}\hat f(\xi )/|\xi {|^{1/4}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We show that, given any finite interval <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I"> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral Underscript upper I Endscripts StartAbsoluteValue upper T Superscript asterisk Baseline f EndAbsoluteValue squared d x less-than-or-slanted-equals upper C Subscript upper I Baseline integral Underscript bold upper R Endscripts StartAbsoluteValue f left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue squared d x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\int _I {|{T^{\ast } }f{|^2}\;dx \leqslant {C_I}\int _{\mathbf {R}} {|f(x){|^2}\;dx} }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and that the above inequality is false with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> replaced by any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p &gt; 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This maximal operator is related to solutions of the Schrödinger equation.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF