The Hilbert transform and maximal function for approximately homogeneous curves

Abstract

Let<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript gamma Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals p period v period integral Subscript negative 1 Superscript 1 Baseline f left-parenthesis x minus gamma left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis d t slash t"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>p</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>.v</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {H}_\gamma }f(x) = {\text {p}}{\text {.v}}{\text {.}}\int _{ - 1}^1 {f(x - \gamma (t))dt/t}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper M Subscript gamma Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals sup Underscript 1 greater-than-or-slanted-equals h greater-than 0 Endscripts h Superscript negative 1 Baseline integral Subscript 0 Superscript h Baseline StartAbsoluteValue f left-parenthesis x minus gamma left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis EndAbsoluteValue d t"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="fraktur">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:munder><mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:munder></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>h</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak {M}_\gamma }f(x) = {\sup _{1 \geqslant h &gt; 0}}{h^{ - 1}}\int _0^h {|f(x - \gamma (t))|dt}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. It is proved that for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of script upper S left-parenthesis bold upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">f \in \mathcal {S}({{\mathbf {R}}^n})</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, the Schwartz class, and for an approximately homogeneous curve<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma left-parenthesis t right-parenthesis element-of bold upper R Superscript n"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma (t) \in {{\mathbf {R}}^n}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>,<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar script upper H Subscript gamma Baseline f double-vertical-bar Subscript 2 Baseline less-than-or-slanted-equals upper C double-vertical-bar f double-vertical-bar Subscript 2"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\left \| {{\mathcal {H}_\gamma }f} \right \|_2} \leqslant C{\left \| f \right \|_2}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>,<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar German upper M Subscript gamma Baseline f double-vertical-bar Subscript 2 Baseline less-than-or-slanted-equals upper C double-vertical-bar f double-vertical-bar Subscript 2"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="fraktur">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\left \| {{\mathfrak {M}_\gamma }f} \right \|_2} \leqslant C{\left \| f \right \|_2}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. A homogeneous curve is one which satisfies a differential equation<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma prime 1 left-parenthesis t right-parenthesis equals left-parenthesis upper A slash t right-parenthesis gamma 1 left-parenthesis t right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msubsup><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\gamma ’_1}(t) = (A/t){\gamma _1}(t)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>,<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than t greater-than normal infinity"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; t &gt; \infty</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, where<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"><mml:semantics><mml:mi>A</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>is a nonsingular matrix all of whose eigenvalues have positive real part. An approximately homogeneous curve<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma left-parenthesis t right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma (t)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>has the form<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma 1 left-parenthesis t right-parenthesis plus gamma 2 left-parenthesis t right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\gamma _1}(t) + {\gamma _2}(t)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, where<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma 2 left-parenthesis t right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\gamma _2}(t)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>is a carefully specified "error", such that<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma 2 Superscript left-parenthesis j right-parenthesis"><mml:semantics><mml:msubsup><mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma _2^{(j)}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>is also restricted for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j equals 2 comma ellipsis comma n plus 1"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…<!-- … --></mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">j = 2, \ldots ,n + 1</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. The approximately homogeneous curves generalize the curves of standard type treated by Stein and Wainger.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF