Embedding 𝐿¹ in 𝐿¹/𝐻¹

Abstract

It is proved that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is isomorphic to a subspace of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript 1 Baseline slash upper H Superscript 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^1}/{H^1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. More precisely, there exists a diffuse <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma"> <mml:semantics> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {S}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the circle such that the corresponding expectation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper E colon upper H Superscript normal infinity Baseline right-arrow upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis bold upper C right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {E}}:{H^\infty } \to {L^\infty }({\mathbf {C}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is onto. The method consists in studying certain martingales on the product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="product Overscript bold upper N Endscripts"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mo>∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\prod ^{\mathbf {N}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF