On univalent polynomials

Abstract

We define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V Subscript n Baseline subset-of-or-equal-to bold upper C Superscript n minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{V_n} \subseteq {{\mathbf {C}}^{n - 1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be the set of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(n - 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-tuples <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis a 2 comma ellipsis comma a Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({a_2}, \ldots ,{a_n})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis z right-parenthesis equals z plus a 2 z squared plus midline-horizontal-ellipsis plus a Subscript n Baseline z Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(z) = z + {a_2}{z^2} + \cdots + {a_n}{z^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is univalent, i.e., one-to-one in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|z| &gt; 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In this paper we construct a real polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4 left-parenthesis 2 left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis squared minus 1 right-parenthesis left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4(2{(n - 1)^2} - 1)(n - 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis a 2 comma ellipsis comma a Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({a_2}, \ldots ,{a_n})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is in the boundary of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{V_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis upper R e a 2 comma upper I m a 2 comma ellipsis comma upper R e a Subscript n Baseline comma upper I m a Subscript n Baseline right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Re</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Im</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Re</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Im</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h(\operatorname {Re} {a_2},\operatorname {Im} {a_2}, \ldots ,\operatorname {Re} {a_n},\operatorname {Im} {a_n}) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This shows that the boundary of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{V_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a subset of an algebraic submanifold of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Superscript 2 left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{R^{2(n - 1)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF