A family of real 2ⁿ-tic fields

Abstract

We study the family of polynomials <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Baseline left-parenthesis upper X semicolon a right-parenthesis equals normal fraktur upper R left-parenthesis left-parenthesis upper X plus i right-parenthesis Superscript 2 Super Superscript n Superscript Baseline right-parenthesis minus StartFraction a Over 2 Superscript n Baseline EndFraction normal fraktur upper I left-parenthesis left-parenthesis upper X plus i right-parenthesis Superscript 2 Super Superscript n Superscript Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">ℜ<!-- ℜ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal">ℑ<!-- ℑ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{P_n}(X;a) = \Re ({(X + i)^{{2^n}}}) - \frac {a}{{{2^n}}}\Im ({(X + i)^{{2^n}}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and determine when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n Baseline left-parenthesis upper X semicolon a right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{P_n}(X;a)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a element-of double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a \in \mathbb {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, is irreducible. The roots are all real and are permuted cyclically by a linear fractional transformation defined over the real subfield of the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{2^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th cyclotomic field. The families of fields we obtain are natural extensions of those studied by M.-N. Gras and Y.-Y. Shen, but in general the present fields are non-Galois for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geq 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. From the roots we obtain a set of independent units for the Galois closure that generate an "almost fundamental piece" of the full group of units. Finally, we discuss the two examples where our fields are Galois, namely <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a equals plus-or-minus 2 Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a = \pm {2^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a equals plus-or-minus 2 Superscript 4 Baseline bullet 239"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>∙<!-- ∙ --></mml:mo> <mml:mn>239</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a = \pm {2^4} \bullet 239</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF