Existence globale et comportement asymptotique pour l'équation de Klein–Gordon quasi linéaire à données petites en dimension 1

Abstract

Soit v une solution de l'équation de Klein–Gordon quasi linéaire en dimension 1 d'espace □v+v=F(v,∂tv,∂xv,∂t∂xv,∂x2v) à données de Cauchy régulières à support compact, de taille ε→0. Supposons que F s'annule au moins à l'ordre 2 en 0. On sait alors que la solution v existe sur un intervalle de temps de longueur supérieure ou égale à ec/ε2 pour une constante positive c, et que pour une non-linéarité générale F elle explose en temps fini de l'ordre de ec′/ε2 (c′>0). Nous avons conjecturé dans [7] une condition nécessaire et suffisante sur F sous laquelle la solution devrait exister globalement en temps, pour ε assez petit. Nous prouvons dans cet article la suffisance de cette condition. De plus, nous obtenons le premier terme d'un développement asymptotique de v lorsque t→+∞. Let v be a solution to a quasilinear Klein–Gordon equation in one space dimension □v+v=F(v,∂tv,∂xv,∂t∂xv,∂x2v) with smooth compactly supported Cauchy data of size ε→0. Assume that F vanishes at least at order 2 at 0. It is known that the solution v exists over an interval of time of length larger than ec/ε2 for a positive c, and that for a general F it blows up in finite time ec′/ε2 (c′>0). We conjectured in [7] a necessary and sufficient condition on F under which the solution should exist globally in time for small enough ε. We prove in this paper the sufficiency of that condition. Moreover, we get a one term asymptotic expansion for v when t→+∞.

Locations

• Annales Scientifiques de l École Normale Supérieure - View
• French digital mathematics library (Numdam) - View - PDF